Forum matematică


Forum > Algebra > Functie strict monotona

Functie strict monotona

Membru din 2019-06-11
 
Postari: 16

Sa se arate ca functia f : (0, +\infty ) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2^{x} + 2^{\frac{6}{x}}  este strict monotona pe fiecare din intervalele (0, \sqrt{6}) si (\sqrt{6}, +\infty ) si sa se rezolve ecuatia 2^{x} + 2^{\frac{6}{x}} = 12


 


Am incercat pe fiecare interval f(x1) - f(x2) cu x1 < x2 si inlocuind x2 = x1 + u, u > 0 dar nu ajung nicaieri.


Oricum, cere sa arat ca este strict monotona si atat, deci daca as reusi sa arat ca restrictiile functiei pe fiecare din cele doua intervale sunt injective ar trebui sa fie de ajuns ca sa arat ca este strict monotona. Corect?


Am mai gasit ca f (1) = f(6) = 66 cu 1 in primul interval si 6 in al doilea deci sigur nu e monotona pe intreg intervalul de definitie.


Cand x coboara la 0 f(x) urca la infinit, la fel si cand x tinde la infinit. Minimul pare sa fie in radical din 6.


Fara derivate ca e pentru clasa a X-a.

Stefan
Membru din 2022-06-29
 
Postari: 13
2024-02-19 11:20:54

Fie 0<x_1<x_2<\sqrt{6}. Avem


f(x_2)-f(x_1)=2^{x_2}+2^{\frac{6}{x_2}}-2^{x_1}-2^{\frac{6}{x_1}}=2^{x_2}\left(1-2^{\frac{6}{x_1}-x_2} \right )+\\ +2^{x_1}\left(2^{\frac{6}{x_2}-x_1}-1 \right )<2^{x_2}\left(2^{\frac{6}{x_2}-x_1}-2^{\frac{6}{x_1}-x_2} \right )


Arătăm că expresia din paranteză este negativă. Adică


\dfrac{6}{x_2}-x_1<\dfrac{6}{x_1}-x_2\Leftrightarrow\dfrac{(x_1-x_2)(6-x_1x_2)}{x_1x_2}<0


inegalitate care este adevărată pe intervalul (0,\sqrt{6}).


Rezultă că f(x_2)<f(x_1), deci funcția este strice descrescătoare pe acest interval.


Analog se arată că funcția este strict crescătoare pe celălalt interval.


Ecuația are câte o soluție în fiecare interval: x=2 și x=3.

ainkurn
Membru din 2019-06-11
 
Postari: 16
2024-02-21 15:07:09

Am inteles rezolvarea. In cazul ecuatiei, ati urmat un procedeu anume sau tot ochiometric cum am facut eu si tinand cont de faptul ca functia descreste pana la f (\sqrt{6}) = 2^{\sqrt{6} + 1} < 2^{3.5} = 2^{\frac{7}{2}} = \sqrt{2^{7}} = 8\sqrt{2} < 12 si apoi doar creste, inseamna ca ecuatia are doar doua solutii?


Ca fapt divers, exercitiul a fost dat la olimpiada, etapa locala in '93 pentru clasa a X-a. Multumesc!

Stefan
Membru din 2022-06-29
 
Postari: 13
2024-02-22 09:59:59

Într-adevăr, soluțiile se văd cu ochiul liber. Nu știu dacă se pot găsi altfel. Problema este, de fapt, demonstrarea că sunt singurele soluții.


Datorită monotoniei stricte a funcției pe cele două intervale, rezultă că restricțiile funcției la fiecare din cele două intervale sunt injective și în acest caz soluția pe fiecare interval este unică.


Ecuațiile cu soluție unică în general cam așa se rezolvă: se observă o soluție (eventual prin încercări) și apoi se arată că este unică folosind injectivitatea funcției.


De exemplu ecuația 3^x+4^x=5^x are soluția unică x=2. (Soluția se observă ușor. Apoi se împarte ecuația prin 5^x și se arată că funcția din stânga este strict descrescătoare, deci injectivă.)

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'